分散投資のご利益を計算してみる - 口の悪い男が資産運用の話をするブログ

こんにちは、悪口と資産運用が大好きな悪口投資家です。

今日は分散投資のご利益を簡単な計算*1で説明してみようと思う。

簡単な計算

$N=$ 資産の数
$r_i=$ 資産 $i$ のリターン
$r_p=N$ 資産に均等投資*2するポートフォリオのリターン
（その他のノーテーションは雰囲気で察してください）

として、 $r_p$ の分散を計算してみると、

$Var(r_p) \\ = Var\left(\sum_i \frac{1}{N} r_i\right) \\ =\frac{1}{N^2}\sum_{i, j} Cov(r_i, r_j)\\ =\frac{1}{N^2}\sum_{i\neq j}Cov(r_i, r_j)+\frac{1}{N^2}\sum_{i}Var(r_i)\\ =\frac{N(N-1)}{N^2}\overline{Cov(r_i, r_j)}+\frac{1}{N}\overline{Var(r_i)}\\ =\overline{Cov(r_i, r_j)}+\frac{1}{N}\left(\overline{Var(r_i)}-\overline{Cov(r_i, r_j)}\right)\\$

となる。

計算結果からわかる分散投資のご利益

$N$ が十分大きければ、 $Var(r_p)\approx\overline{Cov(r_i, r_j)}$ となって、第2項は無視できる。すなわち、十分に分散投資をすれば、第2項のリスクを消すことができる。これが分散投資のご利益である。

逆に言うと、分散投資をしない（＝集中投資をする）ということは、わざわざ第2項のリスクを取りに行くということである。無能*3が集中投資をすると、リターンはせいぜい平均程度にしか期待できないにも関わらず、リスクは第2項の分だけ増えてしまう。だから、無能は自意識を捨てて分散投資をした方がいい。

分散投資で消せないリスク

f:id:waruguchInvest:20210327183527j:plain — 消せるリスクと消せないリスクの図*4

↑の図からもわかるように、どれだけ分散投資をしたところで、第1項の（共分散に由来する）リスクは消すことができない。

また、共分散 $Cov(r_i, r_j)=\rho_{ij}\sigma_i\sigma_j$ であるが、市場がヤバいときは標準偏差 $\sigma$ も相関 $\rho_{ij}$ も跳ね上がりがちなので、トリプルパンチでリスクが跳ね上がることになる。分散投資をしていても時々悲惨な損失を被るのはこのためである。